Seguramente, el leer el título, muchos estén pensando en Albert Einstein. Sin embargo, hoy no vamos a hablar del célebre físico alemán. La columna de hoy tratará de un problema matemático cuyo nombre coincide con el apellido de quien formuló la teoría de la relatividad. 

Con respecto al problema de einstein, vale la pena empezar con su etimología para entender porque poco o nada se relaciona con Einstein. La palabra einstein viene del alemán ein, uno, y stein, piedra. Es decir, einstein significa una piedra pequeña o tesela. Las teselas se utilizan para crear mosaicos con los que, por ejemplo, adornamos pisos y creamos un pavimento. Así, los mosaicos pueden ser de muchas formas, incluso geométricas. 

Entonces, un teselado es un patrón de figuras (teselas) que cubre una superficie plana sin dejar espacios y sin encimar las figuras. Aunque la palabra teselado no sea tan común, no es ajena a nosotros; el piso de nuestras casas es un teselado (no perfecto) cuyo patrón repetido es el cuadrado (en la mayoría de los casos). 

Los teselados pueden crearse con distintas figuras, con las cuales se pueden llegar a formar imágenes. Algunos habrán asociado el concepto de teselación con las pinturas de Michael Escher quien, efectivamente, utilizó este concepto geométrico para mostrar la transición del día a la noche o la conexión entre el agua y cielo. Otros tendrán presentes a la cultura árabe donde la búsqueda de teselaciones se puede observar en su arquitectura; la Alhambra como ejemplo de ello. Sin embargo, no siempre es posible encontrar una teselación que cubra perfectamente la superficie de interés. 

Regresando a nuestra casa, la loseta cuadrada se tiene que romper para cubrir bordes o esquinas del terreno. ¿Cuáles deben ser las características de la superficie para que el patrón del teselado no se rompa? Esta pregunta es relativamente sencilla de responder pues depende de las características de la tesela. Pero también podemos hacernos preguntas en la otra dirección. ¿Cuáles son las características de la tesela para cubrir una superficie infinita?

La última pregunta es el problema del einstein, y Kepler fue uno de los primeros en estudiarlo formalmente. Él definió a una teselación como una cubierta congruente del espacio donde congruencia se refiere a que los ángulos de varias figuras se juntan sin dejar espacio vacío. Así, una congruencia es perfecta cuando todas las figuras que se utilizan son del mismo tipo. El triángulo, el cuadrado y el hexágono son los únicos polígonos regulares que pueden generar teselaciones perfectas; los otros no. Por ello, la mayoría de las teselaciones que observamos en el arte tienen formas caprichosas cuyo estudio continúa pues se asocia a uno de los problemas del milenio de Hilbert.