El 5 de julio se entregó la Medalla Fields a cuatro investigadores por sus descubrimientos sobresalientes en matemáticas. De los cuatro galardonados, uno de ellos se relaciona con las limitaciones que tenemos para visualizar problemas en espacios cuya dimensión es superior a tres. Curiosamente, la semana pasada hablamos brevemente sobre este tema al tratar de imaginar un cubo en cuatro dimensiones, el tesaracto. En dicha columna, concluimos que es posible construir una plantilla en tres dimensiones para representar al tesaracto, tal como se puede hacer una plantilla en una hoja para el cubo.
Por lo anterior, aunque no podemos “ver” objetos con dimensión mayor a tres, es posible analizar y resolver problemas geométricos en dimensiones altas. Por ejemplo, ¿cómo apilar el máximo número de balas de cañón de dimensión ocho en un barco que se encuentra navegando en dicho espacio?
Claramente, no podemos visualizar esferas de dimensión ocho (o hiperesfera). Sin embargo, podemos pensar el apilamiento de balas en un entorno tridimensional. Seguramente, el lector estará tratando de encontrar la solución; incluso, puede ser que el lector la haya visto en alguna película sin darse cuenta. También, la respuesta se puede observar en los supermercados pues acomodar balas de cañón en una superficie plana es equivalente a acomodar naranjas. Con esto último, recordaremos que las frutas redondas suelen apilarse en pirámides. Y no es casualidad que todos los supermercados lo hagan de la misma manera, Kepler (quien descubrió las órbitas elípticas de los planetas) llegó a dicha solución hace más de 400 años, pero no pudo demostrarla formalmente pues la matemática existente no era suficiente.
Al problema anterior se le conoce como el problema del almacenamiento óptimo de esferas. Con el avance de las matemáticas, Thomas Hales formalizó la propuesta de Kepler en 1998. Sin embargo, su estudio, tanto en tres dimensiones como en dimensiones superiores, ha llamado la atención de la comunidad matemática desde que Kepler lo instauró pues en dimensiones superiores los politopos (equivalentes a las figuras geométricas de dos dimensiones) tienen comportamientos extraños. Por ejemplo, recordando el tesaracto, cruzar uno de sus lados nos puede llevar al lado ubicado en el extremo opuesto y no al vecino, como ocurre en dos y tres dimensiones.
Maryna Viazovska ganó la medalla Fields, segunda mujer en obtenerlo, por resolver el problema del almacenamiento óptimo de esferas en 8 y 24 dimensiones. Ambos espacios se negaban a ser resueltos debido al comportamiento de las esferas en dichas dimensiones. Y aunque no podamos visualizar hiperesferas, es posible aplicar el análisis anterior al envío de señales a través de canales ruidosos.
