En apariencia, las cuerdas son objetos que no encierran misterio alguno. Su conceptualización es sencilla; son objetos delgados y largos, hechos de algún material flexible, como el rayón o el yute, que las hace fácil de producir. Por sus características, las utilizamos en actividades deportivas, de comunicación y construcción, por mencionar algunos ejemplos. Estamos tan familiarizados con ellas que parece difícil que nos sorprendan; pero, detrás de su sencillez, las cuerdas esconden conceptos que han contribuido al desarrollo de nuevas tecnologías y a entender los fenómenos físicos y sociales que nos rodean.

Para entender el último punto, pensemos en el movimiento de una cuerda. La podemos agitar tantas veces como queramos, y su movimiento se estabilizará eventualmente sobre el eje vertical (en caso de sostener la cuerda). Este fenómeno ocurre sin importar que una cuerda sea muy ligera, casi sin peso. ¿A qué se debe la estabilización de su movimiento?

Analizar el movimiento de los cuerpos es algo que se ha hecho desde la antigüedad para entenderlo, caracterizarlo y usarlo en beneficio de actividades cotidianas. En este sentido, se ha descubierto la existencia de los ejes principales sobre los cuales la rotación de un cuerpo se equilibra; es decir, se mantiene estable. ¿Cómo se descubrió esto? En primer lugar, es importante mencionar que la rotación de un cuerpo se puede describir como una transformación lineal. Esta última se puede entender como la multiplicación de una matriz por un vector. Respecto al movimiento de un cuerpo, la matriz resume las fuerzas que actúan sobre un vector que describe la ubicación de un objeto en el espacio. Entonces, la transformación indica cómo la ubicación cambia bajo el efecto de las fuerzas.

Curiosamente, al trabajar con transformaciones lineales encontramos que existen vectores que incrementan o disminuyen su magnitud cuando son multiplicados por la matriz, pero que no cambian de dirección. Es decir, se contraen o expanden sobre su propia dirección, se escalan, de acuerdo con un valor fijo que se potencia cada que multiplicamos la matriz por el producto obtenido. Así, el vector tendrá cambios estables cada que intentemos transformarlo. Más aún, si la constante es uno, el vector permanecerá igual por lo que la transformación no lo afectará y se habrá estabilizado sobre el mismo.

Los elementos anteriores se conocen como eigenvectores, siendo el eigenvalor su escalamiento asociado. A ambos elementos se les antepone el prefijo alemán eigen que significa característica pues, redundantemente, caracterizan a las transformaciones matriciales. Específicamente, los eigenvectores nos indican las direcciones sobre las cuales el movimiento de un cuerpo se estabiliza y detiene, después de cierto impulso generado por las fuerzas. Esto ocurre con la cuerda, hay un eigenvector que domina su movimiento y lo estabiliza para quedarse inmóvil. Sin embargo, los eigenvectores van mucho más allá. Estos nos ayudan a descomponer procesos (como en el procesamiento de imágenes), identificar el espacio donde podemos encerrar la mayor cantidad de datos por explicar u ordenar la importancia de ciertos elementos (como en el rankeo de páginas web). Por lo anterior, son la base del análisis espectral pues, aunque nos los vemos, están ahí, caracterizando transformaciones.