La conmutatividad de las operaciones matemáticas es tan familiar para nosotros como peculiar en los espacios matemáticos. Desde niños se nos explica que el orden de los sumandos no altera la suma, mientras que el orden de los factores no altera el producto. Así, la conmutatividad es la propiedad de algunas operaciones de proporcionar el mismo resultado a pesar de que se altere el orden de los elementos que se están operando.
Por consiguiente, cuando una operación es conmutativa, podemos llevarla a cabo de la forma en que queramos. Esto la convierte en una de las propiedades más útiles para resolver problemas matemáticos. Sin embargo, como lo mencionamos al principio, que una operación sea conmutativa es más una peculiaridad que una generalidad. Por ejemplo, solemos linealizar problemas complejos por medio de matrices pues el producto de éstas los transforma o descompone; es decir, los simplifica. La base de los procesos anteriores es la multiplicación matricial que, desafortunadamente, no es conmutativa. Es decir, el resultado puede no existir o ser alterado cuando cambiamos el orden de las matrices.
La importancia de la conmutatividad se extiende más allá de la linealización de problemas complejos. Su existencia, o falta de, ha sido parteaguas para el estudio de problemas matemáticos abstractos. Por ejemplo, calcular las soluciones de ecuaciones cuyo grado es mayor que dos. Sabemos que la solución de una ecuación lineal (grado uno) se obtiene despejando la variable incógnita, mientras que en una ecuación cuadrática la fórmula general proporciona una forma directa de calcular las soluciones. Para ecuaciones de grado 3 y 4 también es posible encontrar una fórmula para hacer lo anterior. Sin embargo, para ecuaciones mayor a cinco no es posible establecer una fórmula general para calcular las soluciones. Esto último se relaciona con la falta de conmutatividad en espacios que se construyen a partir de las ecuaciones; es decir, una abstracción de una ecuación, que también es una abstracción de un fenómeno.
Niels Henrik Abel fue un matemático que estudió las implicaciones de tener o no tener conmutatividad en estructuras algebraicas. Particularmente, Abel estudió las estructuras que generan ecuaciones de grado mayor o igual a cinco para determinar la posibilidad de resolverlas mediante operaciones radicales, que son aquellas asociadas a la suma y la multiplicación. Debido a su interés por la conmutatividad, algunos objetos matemáticos llevan su apellido. Por ejemplos, los grupos y funciones abelianos son objetos donde los resultados no dependen del orden de los operandos. De hecho, el impacto de sus contribuciones en problemas actuales influyó en la creación del Premio Abel, que se otorga a quienes realicen descubrimientos/invenciones destacadas en las matemáticas.
Este año, Masaki Kashiwara ganó el premio Abel por sus contribuciones asociadas a la abstracción de lo abstracto. En la misma lineal que Abel, Kashiwara ha logrado simplificar el análisis de algunos problemas, como el cambio de fase de un material, mediante la abstracción de lo abstracto. Es decir, al relacionar un objeto matemático difícil de estudiar con otro objetivo matemático cuyo análisis es más directo. Un punto de partida para este enfoque, que inspiró a Kashiwara en su niñez, es tratar de determinar el número de tortugas y grullas cuando conocemos el total de piernas y cabezas. ¿Cuál sería la solución si hay 21 cabezas y 54 piernas?
1. https://www.nytimes.com/2025/03/26/science/abel-prize-math-masaki-kashiwara.html
