En la actualidad, la forma en que nos comunicamos depende en gran medida de los emoticonos, pues ayudan a simplificar ideas. Con ellos abreviamos conversaciones con reacciones específicas. Aunque en la actualidad los emoticonos son miniaturas de lo que queremos comunicar (una cara sonriente o un saludo), esto no siempre fue así. En un principio, los emoticonos eran una secuencia de caracteres sobre los cuales había un consenso de su significado (imaginación de por medio). Por ejemplo, XD expresa una “risa a carcajadas”. También son interesantes, pues son ajenos a reglas ortográficas. Es decir, XD representa lo mismo que Xd, xD, y xd en conversaciones por escrito. Sin embargo, al cambiar el contexto, XD puede cambiar su significado.

Notemos que, la X es vital para describir una risa a carcajadas, pero también es utilizada en contextos matemáticos para representar un valor desconocido (cuando es minúscula), o un conjunto con una cantidad arbitraria de elementos (en mayúscula). Algo similar ocurre con la D: al estar en mayúscula representa un conjunto, pero en minúscula suele asociarse a una función. Y no una función cualquiera, usamos d para referirnos a la función distancia. 

La función distancia es especial, pues hay consenso sobre su significado (la longitud existente entre dos puntos), pero no en la forma como la calculamos. Muchos recordarán que la distancia es la longitud de la línea recta que une dos puntos, calculable mediante el Teorema de Pitágoras. Esta es la distancia euclidiana o distancia clásica, la cual es muy utilizada pues proporciona la mínima longitud entre dos puntos. Sin embargo, en la vida diaria, no le podemos decir al taxista que nos lleve de un lugar a otro siguiendo una línea recta. Al transportarnos, el taxista se mueve vertical u horizontalmente para llevarnos a nuestro destino, cuando no hay avenidas diagonales. Esto inspira la introducción de otra forma para calcular la distancia: sumar la longitud de segmentos horizontales con segmentos verticales, lo cual se conoce como la distancia del taxista o de Manhattan; y es igual de válida que la Euclidiana, pues satisface cuatro intuiciones sobre la distancia: 1. Genera un valor positivo (no tiene sentido hablar de distancias negativas). 2. Es igual a cero cuando vamos de un punto al mismo punto (recorremos cero cuando no nos movemos). 3. La distancia es la misma al ir de A a B, o al revés. Y, 4. La distancia se incrementa cuando nos desviamos de nuestro recorrido y pasamos por un tercer punto, que se conoce como desigualdad del triángulo. 

Lo curioso es que al modificar el cálculo de la distancia también cambiamos la geometría del espacio donde nos encontramos. Por ejemplo, al buscar los puntos que guardan la misma distancia a un punto fijo, estos se encuentran en una circunferencia al emplear la distancia Euclidiana, mientras que la métrica del taxista los ubica en los lados de un rombo. Además de las distancias mencionadas, podemos encontrar o construir otras funciones que satisfagan 1, 2, y 3. Así, un espacio métrico es un conjunto de puntos X al cual se le asocia una función d que satisface las características de las distancias. Abreviando, un espacio métrico es de la forma (X, d), es decir, a los espacios métricos les gusta reír a carcajadas.