Aún recuerdo mi primer encuentro con Geometría. Fue en segundo año de primaria donde conocí conceptos como líneas perpendiculares y oblicuas; construcción de ángulos con regla, compás, transportador y, por supuesto, lápiz. En ese primer encuentro, el uso de la regla y el compás fue esencial para dibujar círculos, rectas y sus ángulos. Finalmente, hacíamos recortes de las figuras geométricas trazadas.

Geometría se enseñaba desde el segundo hasta el sexto año de primaria con la intención de entender el uso de planos en el espacio. Sin embargo, lejos estaba de imaginar cómo los pasos iniciales de la Geometría se convierten en algo formal desde una visión matemática. Esto es, cómo el dibujo de figuras utilizando la regla y el compás se trasladan a Postulados, Axiomas, Definiciones y Teoremas utilizando como herramienta la lógica-matemática.

No podemos hablar de Geometría sin hablar brevemente de los griegos. La Historia nos dice que el filósofo griego Tales de Mileto (624 - 546 a.C.) viajó a Egipto para observar cómo los egipcios dividían y parcelaban sus terrenos ante la necesidad de cobrar impuestos aun cuando el Nilo, con sus constantes crecidas, borraba las líneas divisorias de los campos de cultivo. Este conocimiento se llevó a Grecia, donde el área se analizó de forma abstracta, razón por la cual Geometría proviene del latín medida de la tierra. Posteriormente, Euclides de Alejandría (325 – 265 a.C.) formaliza la geometría con su obra más conocida, Elementos, el cual es el segundo libro con más ediciones publicadas (después de la Biblia). Consta de 13 libros, y el primero de ellos contiene 10 axiomas (5 postulados y 5 nociones) y 23 definiciones, a partir de los cuales se deducen 48 resultados de la geometría entre las que se encuentra el famoso Teorema de Pitágoras.

Los cinco postulados de Euclides son la piedra angular para el desarrollo formal de la Geometría y se basan en las herramientas básicas con las que aprendemos geometría en la primaria (regla, compás y lápiz). Los postulados son: 1) Por dos puntos distintos pasa una recta, 2) Un segmento rectilíneo puede prolongarse continuamente en una recta, 3) Hay una única circunferencia para cada centro y diámetro, 4) Todos los ángulos rectos son iguales entre sí, y 5) Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela. Este último es el más conocido por la polémica asociada a si puede, o no, obtenerse a partir de los otros cuatro. Es decir, ¿es un postulado o un teorema? 

Por lo anterior, los matemáticos decidieron negar dicho postulado (por un punto exterior a una recta no pasa una única paralela) para llegar a una contradicción. La negación señala dos opciones. Primero, “por un punto exterior a una recta pasan al menos dos rectas paralelas”, idea que desembocó en la Geometría Hiperbólica desarrollada por el ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski (1792-1856) y el húngaro János Bolyai (1802-1860). La segunda alternativa es considerar que “por un punto exterior a una recta del plano no pasa ninguna recta paralela” lo cual contribuyó a la creación de la Geometría Elíptica, desarrollada por Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), en lugar de generar una contradicción. 

Es importante resaltar que la duda y la curiosidad sobre las ideas matemáticas generó nuevo conocimiento; nuevas Geometrías. Desde una perspectiva teórica esto es interesante, pero, si lo hay, ¿Qué sentido físico tienen estas Geometrías? Esta historia continuará …