Previamente, en esta columna hablamos sobre cómo los números no sólo describen cantidades, sino que también resumen la evolución de nuestras actividades. En aquella ocasión comentamos que los números nos ayudan a representar lo que poseemos, perdemos o repartimos, y al mismo tiempo ilustran las propiedades de un círculo o del crecimiento poblacional. Por lo anterior, es fácil concluir que tenemos una cantidad suficiente de números para analizar problemas de cualquier índole. Formalmente, se dice que hay una cantidad infinita de números.

Aunque es claro que los números no tienen fin, la noción de infinito suele ser difícil de asimilar debido a que estamos rodeados de recursos finitos. En otras palabras, estamos acostumbrados a lidiar con la escasez. ¿Cómo entender entonces al infinito?

El infinito se refiere a situaciones donde no hay limitaciones. Notemos que, en los conjuntos numéricos, la construcción de números no tiene restricciones pues siempre podemos encontrar un número más grande a un número de referencia X. Basta, por ejemplo, con sumarle uno al número de referencia para crear un nuevo número; a saber, X+1.

Con lo dicho anteriormente, es fácil entender que los números son un recurso inagotable. Sin embargo, en los primeros años del siglo XX, el infinito causó revuelo entre la comunidad matemática pues la infinidad de números motivó nuevas preguntas. Por ejemplo, ¿hay más números naturales que números pares? Nuestra intuición nos orienta a pensar que hay más naturales que pares pues en los naturales se incluye también a los números impares. Sin embargo, nuestra intuición se equivoca; lo correcto es concluir que hay la misma cantidad de números pares que de números naturales. Esto se debe a que podemos emparejar a cada natural con un par y viceversa (1-2, 2-4, 3-6, 4-8,…). Pero, más allá del emparejamiento que acabamos de hacer, es importante notar que un subconjunto infinito (el de los pares) tiene el mismo número de elementos que el conjunto que lo contiene (el de los naturales), que aparentemente debería ser más grande. La conclusión anterior motivó a que George Cantor se preguntara ¿hay un sólo infinito o en realidad existen varios infinitos?

Cantor no descubrió que existen distintos infinitos por lo que hay infinitos más grandes que otros. Obviamente, la teoría desarrollada por Cantor conmocionó a la comunidad científica en su momento, incluidos matemáticos de gran talento. ¿Cómo logró Cantor encontrar infinitos más grandes que otros? Formalizando el proceso de contar, hasta el momento ignorado debido a la naturalidad con la que contamos desde pequeños. La relación de ida y vuelta que establecimos entre pares y naturales en el párrafo anterior es la forma como Cantor nos enseñó a contar con formalidad. Una relación similar se puede establecer entre los enteros y los naturales para decir que hay la misma cantidad de enteros que de naturales, a pesar de que los primeros tienen a los negativos: la idea es emparejar a los pares con los positivos y a los impares con los negativos. Pero, no podemos emparejar a los números reales con los naturales; ¡Hay más reales que números naturales! Para entender este punto, invitamos al lector a que reflexione sobre ¿quién es el número sucesor de 1 en la recta real?