Una de las razones por las que el concepto del infinito suele llamar tanto nuestra atención es el hecho de que desarrollamos actividades en un entorno finito. Es decir, vivimos en un entorno con restricciones. Por ejemplo, el tamaño de nuestras casas, las personas que conocemos y las horas que dura un día son recursos cuya “magnitud” está limitada; en palabras simples, entendemos que tienen un principio y un fin. Entonces, por estar acostumbrados a lo finito, suena contradictorio hablar de estructuras u objetos que no tienen fin. Y aún más contraintuivo resulta hablar de distintos “infinitos,” es decir, infinitos más grandes que otros, como ilustramos en alguna columna previa.
Llegar a la conceptualización actual que tenemos de infinito no fue tarea fácil. Desde la antigua Grecia los filósofos discutían sobre la naturaleza del infinito pues algunos lo consideraban una magnitud mientras que otros decían que se trataba de un número. Así, el infinito volvió a generar controversia durante la fundación del Cálculo en el siglo XVII. Al estudiar la relación de cambio entre variables continuas, Newton y Leibnitz notaron que había que descender infinitesimalmente en la recta numérica; pero no había claridad si dicho descenso se detenía en el infinito y continuaba hasta el infinito. Y aunque en ese momento se introdujo el símbolo de infinito , esto se hizo para continuar con el desarrollo del cálculo y porque, de cierta manera, dicho símbolo conciliaba ambas posturas. En la actualidad, después de la revolución que causó Georg Cantor al recordarnos el significado de contar, el infinito es tratado en las matemáticas como un concepto; es decir, una noción de lo que ocurre con ciertos objetos matemáticos.
Al establecer al infinito como una noción, el analizar que ocurre alrededor de un punto se traduce en acercarnos a él lo más que podamos, pero sin estar sobre él. Lo anterior representa la idea intuitiva de un límite matemático con lo cual se formaliza el análisis de cambio entre variables (la derivada) y la acumulación de una variable dado un intervalo específico (la integral).
Y aunque pareciera que el infinito se desprende de lo finito para adentrarnos en nuevos problemas y procesos, la realidad es que ambos conceptos suelen conectarse más a menudo de lo que pensamos. No es raro encontrar “sumas infinitas” cuyo resultado sea un número en concreto. Por ejemplo, al sumar todas las potencias ½ (1/2, 1/4, 1/8, …) el resultado es igual a uno. Lo anterior también se replica para figuras geométricas. Destaca la Trompeta de Gabriel pues ella mezcla lo infinito con lo finito para construir esta figura, consideremos la curva que desciende al cero conforme avanzamos en la recta real pero que nunca la toca (la función 1/x). Después, la giramos alrededor del eje horizontal. Dicha trompeta tiene área infinita (nunca terminaremos de pintarla de dorado), pero volumen finito (la podemos rellenar con una cantidad concreta del agua). ¿Por qué? Porque nunca alcanzamos a llegar a la embocadura, pero si lo hiciéramos, esta es tan pequeña que el aire no pasaría por ella.
