Previamente, en este espacio platicamos sobre algunos resultados matemáticos famosos como el Teorema de Pitágoras y el del Límite Central. Recordemos que los teoremas son formulaciones matemáticas demostradas por medio de operaciones matemáticas o argumentos lógicos. Es decir, son verdades imperecederas que podemos utilizar para resolver problemas en cualquier momento.  Dada la eficacia de las matemáticas, muchas veces ignoramos si los teoremas que empleamos cuentan con una demostración.

Resulta curioso e interesante preguntarnos sí toda afirmación, o negación, matemática es demostrable. Pensemos en una afirmación proveniente de la Teoría de Conjuntos: “El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.” Su demostración se basa en generar algo absurdo asumiendo lo contrario. Es decir, si el vacío no es subconjunto de un conjunto M, entonces el vació tiene un elemento que no está en M; esto no es posible pues el vacío no tiene elementos. Por lo tanto, el vació ES subconjunto de cualquier conjunto, incluido M.

Ahora, consideremos la afirmación: “Todo número par mayor que dos es suma de dos números primos.” ¿Cómo será su demostración? Primero, revisemos algunos ejemplos: 4 = 2 + 2, …, 8 = 5 + 3, …, 36 = 31 + 5, …, 200 = 197 + 3, es decir, son números pares que se pueden expresar como la suma de dos primos. Pero ¿qué pasa con 20000000?, en este caso, no es tan sencillo encontrar primos para verificar si el enunciado es verdadero o falso. ¿Se podrá hacer de alguna otra manera? Por ejemplo, ¿con alguna fórmula? La afirmación anterior se conoce como la Conjetura de Goldbach y hasta el momento nadie ha demostrado su veracidad o falsedad. Incluso, algunos matemáticos consideran que se puede tratar de una afirmación indemostrable.₁

Un momento, ¿es posible que haya afirmaciones matemáticas cuya veracidad o falsedad no podamos demostrar? Así es; existen afirmaciones cuya demostración no se puede encontrar sin generar una contradicción. Lo anterior resume burdamente el 1er Teorema de Incompletitud de Gödel: si queremos matemáticas consistentes (evitar contradicciones) éstas serán incompletas (habrá preguntas sin respuesta).

Con sus Teoremas de Incompletitud, Kurt Gödel generó la crisis de los fundamentos pues, hasta 1931, la comunidad matemática creía que la veracidad o falsedad de cualquiera de sus afirmaciones podía ser demostrada eventualmente. Gracias a Gödel, ahora sabemos que hay problemas matemáticos que no podemos resolver. Muchos creyeron que el resultado previo generaría una pérdida de credibilidad en las matemáticas, algo evidentemente falso a casi 100 años de la publicación de los teoremas de incompletitud.₂ Estos resultados han contribuido a entender las limitaciones y posibilidades de las matemáticas en la modelación ya que proporcionan mayor relevancia a la capacidad de diseñar reglas para generar nuevas estructuras coherentes, en lugar de enfocar la aplicación matemática a la repetición de reglas.

Referencias

1. The Irish Times. 2021. Goldbach’s conjecture: if it’s unprovable, it must be true. [online] Available at: <https://www.irishtimes.com/news/science/goldbach-s-conjecture-if-it-s-unprovable-it-must-be-true-1.4492890> [Accessed 23 July 2021].
2. Mancosu, P. (1999). Between Vienna and Berlin: The immediate reception of Godel's incompleteness theorems. History and philosophy of logic, 20(1), 33-45.