Aproximadamente, en el año 300 a.C., Euclides recopiló el conocimiento matemático existente en un texto, dividido en 13 tomos, llamado Elementos. Además de recopilar resultados matemáticos, Euclides también introduce un método de validación de resultados, que se utiliza hasta la fecha tanto por geómetras como por los interesados en la lógica, la filosofía y la ciencia en general. Para entender este punto, en los primeros seis tomos, Euclides construye la Geometría Euclidiana a partir de 23 definiciones y 5 postulados, con lo cual dedujo las verdades geométricas conocidas. Es decir, convirtió a la matemática en una ciencia deductiva. Un postulado, para Euclides, es un enunciado que no es evidente, pero se asume verdadero sin requerir una demostración. Los cinco postulados de Euclides son:
PI. Por dos puntos distintos pasa una sola recta.
PII. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.
PIII. Hay una única circunferencia con un centro y un diámetro dados.
PIV. Todos los ángulos rectos son iguales.
PV. Si una línea recta corta dos rectas de forma que los ángulos interiores de un mismo lado son menores a 90°, las dos líneas rectas se interceptan del lado en el cual los ángulos son menores que los dos ángulos rectos. Es decir, no son paralelas.
Notemos que la naturaleza de los cuatro primeros postulados es diferente a la del quinto. Incluso, Euclides no usa el PV hasta que demuestra que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180° (Propiedad 29). Pareciera que el PV es una proposición que requiere demostración; es decir, una consecuencia de las definiciones y los primeros cuatro postulados. Surge la pregunta ¿podemos construir la teoría de la Geometría sin necesidad de PV? Durante siglos, eminentes matemáticos trataron de demostrar (sin conseguirlo) el PV. Sin embargo, sus esfuerzos no fueron en vano pues encontraron múltiples enunciados equivalentes a dicho postulado.
Merece especial interés lo hecho por Gerolamo Saccheri (1667-1733) quien, en 1731, publica “Euclides Liberado de Cada Defecto” donde sienta las bases de las Geometrías No Euclidianas. A diferencia de sus antecesores, Saccheri supone que PV no es verdadero para generar una contradicción a la que no llegó. Por el contrario, construyó una geometría independiente del PV, ahora llamada Geometría Hiperbólica. Sin embargo, Saccheri y otros matemáticos después de él, incluido Gauss, no concluyeron sus investigaciones por considerarlas antinaturales. Fue Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856) quien se desprende de lo natural, asociado a la escuela griega, y demuestra que la geometría depende de cómo medimos distancias. Además, retoma los trabajos de Saccheri, Bolyai y Gauss para formalizar a la Geometría Hiperbólica. Siguiendo a Lobachevski, Bernhard Riemann (1826-1866) establece las bases de la Geometría Elíptica en su obra “Hipótesis en que se basa la geometría” por medio de la curvatura; en este sentido, la geometría depende del objeto y de su dimensión. El culmen de la discusión generada por el PV llegó en 1920 cuando Einstein utiliza los trabajos de Riemann para establecer la Teoría de la Relatividad General. Así, la carrera especial posterior no es otra cosa que jugar con la veracidad o falsedad de las rectas paralelas.
