Para el desarrollo de la humanidad, las matemáticas se han alzado como una herramienta poderosa para entender el mundo que nos rodea y resolver los problemas a los que nos enfrentamos. Con ellos podemos desde generar algoritmos que asignen recursos sanitarios de manera óptima en una contingencia sanitaria hasta determinar la trayectoria de lanzamiento de un satélite artificial para que orbite alrededor de la tierra. A pesar del poder de las matemáticas para resolver y relacionar problemas en diferentes contextos y entornos, en ellas podemos problemas que todavía no tienen una respuesta. Por ejemplo, la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales.

Un número primo es un número natural sólo divisible por sí mismo y el uno. Por ejemplo, 15 no es primo porque sus divisores son 5, 3 y 1, mientras que 5 y 3 lo son pues son divisibles por 1 y el mismo. Y ¿cómo encontramos primos? Eratóstones estableció un proceso en el que colocamos los números del 2 al 100 en una tabla. Tomamos al primer número (2); si es primo, lo conservamos y tachamos todos sus múltiplos. Repetimos el proceso para el siguiente (3). El proceso continúa hasta eliminar todos los números que son múltiplos de un primo. Sin embargo, esto es poco eficiente para determinar sí 809 es o no primo.

Además de los criterios de divisibilidad, nos preguntamos sí hay una regla sobre la distancia entre primos. Por ejemplo, sólo un número separa al 3 del 5 y al 5 del 7. Sin embargo, hay tres números entre 7 y 11, y cinco entre 53 y 59. Pareciera que la distancia crece conforme los números crecen. Sin embargo, lo anterior deja de cumplirse con 107 y 109, que también son primos. La irregularidad es algo, paradójicamente, regular en el análisis de los números primos. Es decir, hay intervalos donde podemos encontrar primos muy cercanos, mientras que también hay intervalos donde los primos se alejan demasiado. Utilizando el factorial de X (X!), la secuencia X!, X! +1, X! + 2, …, X! + X carece de números primos. Entonces, si X= 1,000,000, hemos encontrado un millón de números donde ninguno es primo.

Conforme los números crecen, pareciera que cada vez hay menos números primos. Esto lleva a preguntarnos por el número de primos menores o iguales a X. Gauss observó que la cantidad anterior es muy similar a X/LOG(X). Sin embargo, al ser una aproximación, es muy precisa para algunos valores mientras que para otros no. Esto motivó a que se buscaran diferentes aproximaciones en las que estuvieron involucrados Hadamard, Dirichlet, Euler y Riemann. Este último notó que para tener una buena aproximación de los primos menores a un número hay que calcular la suma infinita de los inversos multiplicativos de los números naturales elevados a una potencia compleja. También, conjeturó que los ceros de esta función tienen parte real igual a ½. Esto es esencial para determinar si la aproximación de Riemann es la mejor para calcular los primos menores a un número. Sin embargo, aún no se ha demostrado si lo anterior es verdadero o falso, es decir, los primos se reúsan a mostrar regularidades.