Brevemente, la semana pasada hablamos de cómo la creatividad contribuyó al descubrimiento, ¿o creación?, de la fórmula general, la cual sirve para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado. Por medio de una suma adecuada, esta fórmula se obtiene al despejar la variable incógnita de un binomio al cuadrado. Se le atribuye al matemático hindú Bhaskara (1114-1185) la representación de dicha fórmula tal cual la usamos hoy en día, aunque hay indicios de que Al-Khwarizmi (780-850), protagonista de la portada del libro Álgebra de Baldor, utilizaba un procedimiento muy similar al que hay detrás de la fórmula para calcular las soluciones de las ecuaciones cuadráticas.
A pesar de que nos es claro el momento en que se usó la fórmula general por primera vez, no hay duda de que su importancia se debe a su simplicidad. Notemos que la fórmula general nos indica que las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma a por x al cuadrado + b por x + c igual a cero se obtienen mediante la resta de b con más/menos la raíz cuadrada de b al cuadrado – 4 veces a por c, y todo lo anterior dividido por dos veces a. Es decir, la fórmula general se expresa mediante operaciones algebraicas básicas (suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y radicación) y no utiliza procesos asociados a las funciones trascendentes. Por lo anterior, se dice que las ecuaciones de segundo grado son solubles por radicales.
Entonces, ¿será posible encontrar una fórmula general para ecuaciones de grado superior a dos? Es decir, ¿todas las ecuaciones polinómicas son solubles por radicales?
Después de que Al-Khwarizmi introdujera los fundamentos del álgebra a los matemáticos europeos, y estos entendieran la fórmula general de Bhaskara, la discusión matemática en Europa se centró en la pregunta anterior. Particularmente, en el siglo XVI, los matemáticos italianos compitieron por resolver dicha pregunta. Paralelamente, Tartaglia y Cardano descubrieron la fórmula general de las ecuaciones cúbicas, hecho recordado por una disputa pública por su autoría. que se rumora llegó a los golpes. Por su parte, Ferrari, contemporáneo de Cardano y Tartaglia, encontró la fórmula general de las ecuaciones de grado cuatro.
A pesar del interés por encontrar las soluciones por radicales de ecuaciones de grado cinco o superior, se logró avanzar en este tema hasta el siglo XIX. Sin embargo, no de la manera en que se esperaba. Evariste Galois estableció a los 19 años que las ecuaciones de grado cinco, o superior, no son solubles por radicales; es decir, no es posible encontrar una “fórmula general” para dichas ecuaciones. Al establecer esta imposibilidad, Galois revolucionó las matemáticas pues introdujo SU teoría, y con ella impulsó el desarrollo del Álgebra Moderna, disciplina fundamental para las telecomunicaciones y la ciberseguridad. Sin embargo, Galois moriría poco después de escribir sus resultados a los 21 años. La leyenda dice que lo hizo en la noche anterior al duelo donde perdió la vida; algunos señalan que ese duelo fue por un amor no correspondido mientras que otros lo atribuyen a sus también revolucionarias opiniones políticas.
