A principios del siglo XX, un joven médico francés inglés llamado Louis Bachelier presentó su tesis doctoral en la Universidad de París. Su idea —que en su momento sonó un tanto extraña— consistía en usar las matemáticas del azar para entender cómo se movían los precios en la bolsa. Quizá nadie lo tomó muy en serio. ¿Matemáticas para explicar la fortuna o la especulación? Sin embargo, ese trabajo pionero terminó convirtiéndose en el punto de partida de las matemáticas financieras modernas.
La historia de Bachelier nos trae a la mente algo realmente fascinante: lo que alguna vez fue solo una curiosidad académica se ha convertido en una de las herramientas más poderosas para entender nuestro mundo, que está lleno de incertidumbre. Cada vez que observamos cambios en el clima, fluctuaciones en los precios de las acciones o la propagación de una epidemia, estamos viendo fenómenos que se pueden describir mediante procesos estocásticos. El verdadero reto no es eliminar el azar, sino aprender a interpretarlo. A pesar de que no podemos predecir el futuro con absoluta certeza, es posible hacer estimaciones acerca de cómo podría evolucionar, apoyándonos en probabilidades.
Un proceso estocástico, visto de forma más formal, es un grupo de variables aleatorias que cambian a lo largo del tiempo. Un ejemplo clásico de esto es la caminata aleatoria. Imagina a alguien lanzando una moneda: si sale cara, da un paso hacia adelante; si sale cruz, retrocede un paso. A pesar de su sencillez, este juego es muy profundo: se emplea para simular el comportamiento de partículas en la física, la evolución demográfica de los seres vivos e incluso la inestabilidad de los mercados financieros.
Existen numerosas clases de procesos estocásticos. Los procedimientos de Markov, por ejemplo, explican sistemas en los que el futuro depende únicamente del presente y no de lo que sucedió antes. Se emplean para examinar el tráfico en las ciudades, el clima e incluso la conducta de los usuarios en internet. Los procesos de Poisson, creados en el siglo XIX, nos asisten en la estimación de la probabilidad de que sucedan ciertos eventos, como recibir llamadas telefónicas o que se produzcan mutaciones genéticas. Y los procesos de difusión, como el movimiento browniano, describen el movimiento errático de las partículas microscópicas, pero también el ir y venir de los precios bursátiles. Lo asombroso es que, en todos estos casos, las matemáticas son capaces de descubrir el orden en lo que parece ser un desorden total a simple vista. Patrones y regularidades que podemos examinar están ocultos detrás de la aleatoriedad y las fluctuaciones.
De algún modo, el estudio de los procesos estocásticos es como aprender a moverse en la niebla. Estos modelos funcionan como brújulas que nos asisten a tomar decisiones más informadas, en medio de la incertidumbre que nos rodea. Nos ayudan, por ejemplo, a prever epidemias y riesgos financieros, comprender fenómenos naturales como las lluvias y los sismos o mejorar las redes de comunicación. El azar no equivale al caos absoluto. En realidad, es una dimensión del mundo que se puede comprender a través de la observación, la paciencia y las matemáticas. Tal vez transformar la incertidumbre en conocimiento útil sea uno de los mayores logros del pensamiento matemático contemporáneo. No es cuestión de anticipar el futuro, sino de prepararnos mejor para él.
