Alicia vio a un conejo blanco correr y comentar para sí mismo que iba a llegar tarde después de sacar un reloj de su chaleco. Sorprendida, intentó alcanzarlo sin lograrlo pues el animal entró en su madriguera diciendo. Movida por la curiosidad, Alicia ingresó a la madriguera que parecía un túnel cuyo extremo final se veía cerca. Para su sorpresa, conforme avanzaba, el final se veía igual de lejos, y de repente empezó a caer. En su descenso, ella observó libreros, sillas y otros objetos; parecía que nunca llegaría al extremo final pues cada vez veía más cosas. Sin embargo, sin esperarlo, Alicia cayó sobre un montón de hojas. Al mirar hacia arriba, la entrada se veía cercana, pero a la vez distante de donde se ubicaba.

Superficialmente, la experiencia de Alicia es fantasiosa y divertida. Pero, haciendo un análisis profundo, Lewis Carroll nos explica el límite de una función a partir de este pasaje. Notemos que la ubicación de Alicia se puede representar como una función que depende del tiempo d(t) . Asumiendo que su recurrido inicia en el tiempo 0 y termina en el tiempo T, tenemos que d(0) representa la entrada de la madriguera y d(T) es el extremo final. Al transcurrir el tiempo, las cosas que observa le indican que su ubicación está cambiando; es decir se está aproximando a una ubicación distinta a la entrada, aunque no tiene claro a donde llegará, sí es que llega a algún lugar.

Lo que experimentó Alicia es lo mismo que vivimos al calcular el límite de una función cuando la variable se acerca a un valor específico. Es decir, evaluamos distintos valores cercanos al valor dado en la función y a partir de lo que observamos tratamos de determinar el resultado que obtendremos. Contrario a lo que le ocurre a Alicia, y aunque utilicemos una cantidad infinita de puntos cercanos al valor que nos interesa, en ocasiones descubrimos que nuestra ubicación final no se puede determinar. Formalmente, decimos que el límite de la función no existe cuando lo anterior ocurre.

Aunque la esencia geométrica del límite es clara, su definición formal tardó varios siglos en ser establecida. En la Grecia Clásica se utilizaron cantidades infinitamente pequeñas para calcular áreas mediante aproximaciones; y a pesar de que su diferencia con los infinitesimales tampoco era precisa, su estrecha relación con el límite impulsó el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral en el siglo XVII. Fue hasta mediados del siglo XIX que Weierstrass introdujo la definición formal de límite, lo que lo hace un concepto relativamente joven en matemáticas. Sin embargo, su impacto lo podemos percibir en todas partes. Puesto que el cálculo de un límite no requiere estructuras o propiedades matemáticas avanzadas, es una herramienta eficaz para estudiar fenómenos que no son continuos o diferenciables (los cuales abundan en las problemáticas actuales). Simplemente tenemos que corroborar que cualquier vecindad de valores en el rango de una función proviene de una vecindad de valores en el dominio.

Referencias

¹Carroll, L. (2016). Alicia en el país de las maravillas/Alicia a través del espejo/La caza del Snark (Los mejores clásicos). Penguin Clásicos.

²Mayorga, C. G. R. (2017, May). Hitos en la historia del concepto de límite. In II Congreso de Educación Matemática de América Central y de El Caribe.

³ Bagni, G. T. (2005). Historical Roots of limit notion. Development of its representation registers and cognitive development. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 5(4), 453-468