Las Voces de Ingenierías: Borel vs von Neumann vs Nash
28/09/2021
Autor: Dr. Damián Emilio Gibaja Romero
Cargo: Área de Matemáticas

La Teoría de Juegos es la rama de las matemáticas que analiza las interacciones entre diferentes tipos de agentes. Por lo anterior, los modelos matemáticos basados en esta teoría nos permiten prevenir la falta de coordinación que aqueja a los procesos de producción cuando se introducen nuevas tecnologías. Es decir, el análisis de un conflicto se usa para definir las reglas de operación de un sistema que no sean manipulables; tal es el caso de las subastas de espectro radioeléctrico o los protocolos de seguridad digital. Aunque es claro que la teoría de juegos se relaciona con la optimización para resolver conflictos, la solución de un conflicto no es buscar máximos o mínimos de una función objetivo. De hecho, definir el concepto de solución de un juego fue uno de los grandes problemas que la disciplina enfrentó para su formalización.

El origen de la Teoría de Juegos se puede rastrear hasta la antigüedad con la escritura del Talmud y la Tora, que describen cómo pagar una deuda con múltiples acreedores. Dicho procedimiento manifiesta la necesidad de incorporar las consecuencias de sólo atender a un acreedor. Entonces, aunque no se tenga el dinero suficiente, las múltiples deudas deben ser parcialmente cubiertas simultáneamente. Pero, fue hasta 1921 que Emile Borel logró establecer las bases necesarias para diferenciar la solución de un juego de un problema de optimización tradicional. Al introducir formalmente el concepto de estrategia, Borel señala que un juego puede terminar en diferentes escenarios y que, si queremos buscar una solución óptima, esta debe ser dominante, que significa maximizar la función objetivo de cada jugador sin importar lo que hagan los otros jugadores.

A pesar de que la solución de Borel establece un marco formal para el análisis de estrategias, su propuesta pasó desapercibida pues se basaba en utilizar ecuaciones integrales. Fue hasta 1944 que se recuperó el interés por entender los modelos matemáticos sobre conflictos gracias a la simplificación combinatoria que John von Neumann hizo de los juegos; señaló que los escenarios de un juego se pueden representar mediante una función que suma los objetivos de los involucrados y que esta suma es igual a cero (lo que uno gana, el otro lo pierde). Así, las soluciones maximin (maximizar la ganancia) y minimax (minimizar la pérdida máxima) se popularizaron por su simpleza y claridad. Sin embargo, como lo hizo notar John Nash, no todas las interacciones son de tipo ganar-perder; hay escenarios en los que los jugadores obtienen una ganancia razonable que los motiva a no cambiar su comportamiento. Estas son las soluciones de equilibrio que Nash formuló en su tesis doctoral de 1950.

Actualmente el equilibrio de Nash es el concepto de solución que más utilizado en Teoría de Juegos pues, contrario a lo que Borel y von Neumann propusieron, el equilibrio de Nash siempre existe. Tan grande es la victoria de Nash sobre Borel y von Neumann que no es necesario citar su tesis para saber que dicha solución la propuso él.